Cuando buscaba una forma clara y geométrica de calcular el área de un paralelogramo primero pensé en el caso más simple:

La solución es muy sencilla en cuanto se te ocurre que tienes que compararlo con el rectángulo de base y altura :

Puedes quitar el triángulo verde de la derecha y ponerlo a la izquierda: cabe justo en el trozo verde dentro del rectángulo de altura y ancho . El rectángulo tiene por lo tanto exactamente el mismo tamaño que el paralelogramo original. Y ya sabemos cómo calcular el área de un rectángulo, , por lo que el problema parece solucionado.

Es un resultado muy interesante, porque te dice que puedes desplazar horizontalmente del lado superior de tu paralelogramo tanto como quieras sin modificar su tamaño.

¿Tanto como quieras? Bueno, realmente no lo sabemos. Porque a base de desplazar llegas a un punto en que el argumento que hemos usado ya no aplica. ¿Qué dirías de este paralelogramo?

Tiene las mismas y que el anterior. Tal vez su área sea también la misma, pero todavía no lo sabemos: no podemos aplicar el argumento de antes, porque no podemos cortar el triángulo de la derecha y ponerlo a la izquierda para construir el rectángulo. No encaja.

Podríamos rotarlo, hacer que la base sea uno de los lados largos, y estaríamos en el caso anterior, con lo que podríamos calcular el área. Pero a estas alturas el objetivo no era sólo calcular el área, sino que se trataba de ver si sigue siendo . Así que necesitaba otro argumento, y argumento encontré. Pero resulta que era largo, no muy bonito y, por lo tanto, poco satisfactorio.

Hablándolo a la hora de comer con varios amigos aparecieron un par de soluciones mejores que la mía. Jaime Fernández y Ján Morovič rápidamente vieron una forma muy inteligente de convertir el nuevo problema en el anterior, y Utpal Sarkar (Doetoe) pensó un una solución simple, general y muy elegante.

Te recomiendo que lo pienses antes de mirar las soluciones, y que después las leas en orden: primero la larga, después la inteligente, y finalmente la elegante (y mejor).